HOMOTECIA

HOMOTECIA

EXPERIMENTA

HOMOTECIA

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o var9ias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Tiene las siguientes propiedades:

• Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.
• Los segmentos con paralelos.
• Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.

En una homotecia de centro el punto O y razón k:

• Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que la homotecia es directa.

• Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que la homotecia es inversa.

A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k > 0; homotecia directa.

A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.

Rotación

Rotación

ROTACION: Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a un punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos llamar ángulo de giro.

Practicar una ROTACION:

Se escoge un punto O llamado centro de rotación. Con el compás, se toma la medida desde el centro, hacia el vértice A y con ese radio se traza un arco de circunferencia.Marcamos el vértice rotado A’.Para rotar los otros vértices debemos medir el ángulo que corresponde al arco dibujado con el vértice A y mantenerlo, para que la forma de la figura no cambie. Además debemos conservar el ángulo de giro. La figura obtenida es congruente con la primera.

Y ¿cómo se busca el centro de rotación? CENTRO de ROTACION: Se toma el punto medio entre A y A’ y se dibuja allí la simetral. Se toma el punto medio entre B y B’ y se dibuja allí la simetral. El punto de intersección es O.

Rotación en sistemas de Coordendas para ángulos especiales:Rotar (4,1) con centro de rotación O= (0,0), en 90°, 180°, 270°, 360°.

Las rotaciones requeridas serán:

Y Resumiendo:

TRANSLACION

Traslación es un concepto con varias definiciones formales, aunque su uso suele estar vinculado al movimiento de traslación, que es aquél que desarrollan los cuerpos que trazan curvas de amplio radio en comparación a sus respectivas dimensiones.

Para la astronomía, la traslación de los astros es el movimiento que desarrollan mientras orbitan. Se conoce como traslación de la Tierra, en este sentido, al movimiento de nuestro planeta en torno al Sol, que realiza en una órbita de características elípticas con un perímetro de unos novecientos treinta millones de kilómetros.

El término traslación también permite nombrar al accionar y a las consecuencias de cambiar de sitio o espacio a una persona o un objeto. Por ejemplo: “La empresa decidió la traslación de Manuel a la sucursal de Lima”, “El gobierno se niega a la traslación del tesoro hallado frente a las costas de la capital”.

Traslación es, por otra parte, la traducción a un idioma diferente: “Necesito que la traslación de este documento sea exacta y no deje lugar a interpretaciones erróneas”, “Me han encargado la traslación de un complejo texto científico que me llevará varias semanas de trabajo”.

En el ámbito de la gramática, la traslación es una figura constructiva que se concreta con la utilización de un tiempo verbal más allá de su significación habitual. Para la retórica, por último, traslación es sinónimo de metáfora (el empleo de un término o frase sobre una idea, sin denotarla de manera literal sino sugiriendo una comparación con finalidad estética o para facilitar su comprensión): “El sol, esa moneda de oro que necesitamos para vivir”).

Cuando se habla de trasladar figuras geométricas, sean bidimensionales o tridimensionales, en el espacio, es común que surjan complicaciones cuando entran en juego conceptos como la rotación o la orientación. Por ejemplo, de acuerdo a la configuración con la que se esté trabajando, sea en un ordenador o en teoría, el orden en que se apliquen dichas operaciones puede afectar el resultado; en otras palabras, la posición final puede variar.

Para entender las razones, es necesario tratar primero el concepto de coordenadas locales y universales (o de mundo). El primer caso hace referencia a la orientación de los ejes coordenados, que en el caso de un espacio de tres dimensiones suelen llamarse y, x y z; ésta afecta directamente la percepción del resto de los elementos y su ubicación (arriba, a la derecha, delante, etc). La complejidad reside en que esta orientación puede ser diferente para cada figura, y a su vez todas pueden ser distintas de la universal.

Para dar un ejemplo práctico, si una persona se recuesta en medio de una calle muy transitada, lo que antes se encontraba delante de ella pasará a estar “debajo”, ya que estará frente a la planta de sus pies, que en su sistema local de coordenadas corresponde a su base. Por otro lado, cada uno de los sujetos presentes en esa escena, tendrá una percepción particular de la ubicación de los demás, y el mundo mismo mantendrá sus ejes alineados con distinta orientación.

Volviendo al orden de las operaciones, si le pidiéramos a una persona que diera cuatro de pasos hacia el frente y cuando llegara a su destino le indicáramos que rotara 90° a la derecha, seguramente nos daría un punto resultante muy distinto al que obtendríamos rotando primero y trasladando después, ya que su orientación local se vería afectada antes de caminar, por lo que su “frente” miraría en otra dirección.

Si en cambio ignoráramos la orientación local de dicho individuo y nos basáramos siempre en la universal, ambos resultados coincidirían, pero el grado de abstracción aumentaría, ya que los pasos los daría hacia “el frente” con respecto al mundo, que permanecería inmóvil, y a nuestros ojos la persona se movería hacia su izquierda.

tiene ejes d Eje de simetría Eje de simetría es la línea que divide una figura en dos partes simétricas. En la figura a la derecha, la línea roja (d) que divide al triángulo ABC. Otra definición para Simetría sería:  Proporción adecuada de las partes de un todo. Correspondencia de posición, forma y dimensiones de las partes de un cuerpo o una figura a uno y otro lado de un plano transversal (bilateral) o alrededor de un punto o un eje (radial). También sabremos que  una figura es simétrica cuando podemos pasar una línea recta o eje por ella de tal forma que dicha línea divide la figura en dos partes que tienen la misma forma. Por el contrario, una figura no es simétrica cuando, al trazar una línea recta por su mitad, la figura se divide en dos partes que tienen formas distintas. Simetría en figuras planas El triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría. El triángulo isósceles tiene un solo eje de simetría. El triángulo escaleno no tiene ejes de simetría. Estas figuras sin ejes de simetría se llaman figuras asimétricas. El rectángulo tiene dos ejes de simetría. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría. El rombo tiene dos ejes de simetría. El trapecio no tiene ejes de simetría. El trapezoide no e simetría.

PITÁGORAS

        Pitágoras nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales  y de Fenecidas de Siria, estudió en la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta establecerse  en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque ya los egipciosy los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc..., pero sin haberlo demostrado.

  La Escuela Pitagórica

         La Escuela Pitagórica, al parecer fundada por Pitágoras, fue una asociación religiosa y política además de filosófica. Para acceder a ella era necesario abstenerse de ciertos alimentos y observar el celibato (permanecer soltero).  En los grados más altos, los pitagóricos vivían en completa comunidad de bienes. Las enseñanzas de  los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado Pitágoras, fundador de la escuela. La escuela se fue transformando en una hermandad con ritos y ceremonias secretas de las que se sabe muy poco. Este secretismo se extendía a todo lo que rodeaba la escuela, incluidos sus trabajos y descubrimientos matemáticos, por eso no se tiene certeza sobre qué descubrieron y quién lo descubrió. La doctrina de los pitagóricos tenía esencialmente carácter religioso, fundamentalmente consistió en que la sustancia de las cosas era el número. La naturaleza, las estrellas, ... todo estaba basado en relaciones numéricas enteras o fraccionarias. La secta acabó teniendo un carácter político lo que provocó enfrentamientos, persecución y por fin su práctica ruina con el exilio y un cierto grado de dispersión. Las sedes de su escuela fueron incendiadas, y sólo tiempo después los desterrados pudieron volver a su patria. Es probable que Pitágoras se  viese obligado por estos movimientos insurreccionales, a dejar Crotona para irse a Metaponto. Parece ser que fue el exilio lo que provocó que se abrieran en cierta medida y que se conocieran gran parte de sus conocimientos. En matemáticas fueron importantes: los números, sus relaciones, la aritmética, la geometría,... aunque también la música, en la que veían la influencia de los números al obtener diferentes sonidos relacionados entre sí al dar diferentes tamaños a las cuerdas de una lira. Pitágoras y los pitagóricos tuvieron gran influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas.

 Las Matemáticas de los pitagóricos
Como hemos dicho más arriba se les atribuyen numerosos e importantes descubrimientos en el terreno de las Matemáticas. Vamos a destacar algunos:

 El teorema de Pitágoras
Se atribuye a la escuela pitagórica la demostración del Teorema de Pitágoras. Como hemos dicho más arriba, ya los babilonios y los egipcios, usaban con una eficacia asombrosa, la relación establecida en el Teorema de Pitágoras para resolver problemas prácticos, pero no conocían la demostración.

 Los números irracionalesComo consecuencia del Teorema de Pitágoras, también se les considera descubridores de los números irracionales. Estos números contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables",  como  , que no eran ni enteros ni fraccionarios.
 Clasificaciones de los números
La obsesión por los números y la adoración que les profesaban, condujeron a los pitagóricos a un estudio minucioso de los números. Establecieron diversas clasificaciones, entre otras la distinción entre pares e impares tal y como lo hacemos hoy, también otras más curiosas. Hemos elegido algunas de ellas y te proponemos que las pienses para divertirte un rato:


 Números triangulares. Son números naturales que se pueden expresar en forma de triángulo, tal y como los de la figura siguiente: ¿Serías capaz de encontrar y dibujar los tres siguientes?
  Números cuadrados. De igual forma que los anteriores, son números que se pueden expresar en forma de cuadrados como en la figura siguiente:
¿Serías capaz de encontrar y dibujar los tres siguientes? Números perfectos. Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3. ¿Eres capaz de encontrar el siguiente? Los demás son más complicados. Prueba con el siguiente al 6.
 
 Los sólidos cósmicosSólo existen cinco poliedros regulares, que los pitagóricos veneraban y que llamaban sólidos cósmicos aunque fue Euclides el que demostró que no hay más poliedros regulares. Estas cinco figuras geométricas fueron admiradas, entre otros,  por Platón que pensó que representaban los elementos fundamentales que constituían el mundo: AIRE, AGUA, FUEGO, TIERRA y COSMOS:


OCTAEDRO, ocho caras que son triángulos equiláteros. Para Platón EL AIRE.
 

  

ICOSAEDRO, veinte caras que son triángulos equiláteros. EL AGUA para Platón.


TETRAEDRO, cuatro caras que son triángulos equiláteros. EL FUEGO para Platón.
 



   
CUBO, seis caras que son cuadrados. Según Platón LA TIERRA.



 



DODECAEDRO, doce caras que son pentágonos regulares. Platón lo identificó con EL COSMOS.

Bloque 3